赌徒破产问题——乖乖签到还是掷骰子？
前些时日，常用的一个 GPT-4 API 中转网站 burn.hair 在每日签到任务下多了一个游戏，规则是每次支付 3 美元，获得一次掷骰子的机会。骰子是一个六面骰子，点数为 1 到 6，得到几点就赢得相应的美元。
看到这个时，我脑海里同时跳出来两个想法。
一个想法是：掷一次净赢利期望是 0.5 刀，稳赚不赔的生意，这不白嫖嘛，不玩白不玩。
另一个想法是：怎么感觉有点像赌徒破产问题。这是一个经典的概率问题，描述了一个赌徒在赌场中玩赌博逃不掉的魔咒。赌徒每次下注 1 美元，赢了就赢 1 美元，输了就输 1 美元。假设每场胜率都是 50%，那么赌徒最终破产的概率是多少？
答案是 100%。因为赌徒的资金是有限的，一旦资金归零就彻底出局。当然这里隐藏的假设是庄家有无限资金，理论上不可能，但实际上庄家跟赌徒的资金对比非常悬殊，因此即使在胜率 50% 的情况下，只要玩得足够久，赌徒最终难逃破产的命运。
考虑到只有不到 10 刀的余额，理性告诉我不要沉迷于赢利的泡沫中，因此也就没有继续思考这个问题，乖乖的选择了每日签到。
然而这几日又想到了这个问题，本着学习的态度，我决定精确求解一下，看看概率是多少。假设骰子是公平的，我的初始资金 是 15 刀，那么考察三个问题：
- 假如我每天都玩一次游戏，在 100 天内因为余额不足而出局的概率 (l=loss)是多少？
- 100 天后的余额的期望 是多少？
- 该不该玩这个游戏？
出局概率
直接计算这个概率也是可以的，但多年不接触概率论，计算能力已经逐年减退，只能借助于代码测试一下。
import random
import numpy as np
def simulate_game(days_limit=100, initial_balance=15):
gambler = initial_balance
house = 10000
days = 0
bankrupt = False
while days < days_limit:
days += 1
if gambler < 3:
bankrupt = True
break
gambler -= 3
house += 3
dice_roll = random.randint(1, 6)
if house < dice_roll:
gambler += house
house = 0
break
else:
gambler += dice_roll
house -= dice_roll
return gambler, bankrupt
def run_experiments(num_experiments=10000, days_limit=100, initial_balance=15):
results = []
bankruptcies = 0
for _ in range(num_experiments):
final_balance, is_bankrupt = simulate_game(days_limit, initial_balance)
results.append(final_balance)
if is_bankrupt:
bankruptcies += 1
return results, bankruptcies
num_experiments = 100000
days_limit = 100
initial_balance = 15
results, bankruptcies = run_experiments(num_experiments, days_limit, initial_balance)
# Calculate statistics
average = np.mean(results)
median = np.median(results)
percentile_25 = np.percentile(results, 25)
percentile_75 = np.percentile(results, 75)
bankruptcy_rate = bankruptcies / num_experiments
print(f"After {num_experiments} independent experiments, each lasting up to {days_limit} days")
print(f"Initial balance: {initial_balance} dollars")
print(f"Expected final balance (average) for A: {average:.2f} dollars")
print(f"Median final balance for A: {median:.2f} dollars")
print(f"50% of cases fall between {percentile_25:.2f} and {percentile_75:.2f} dollars")
print(f"Minimum value: {min(results):.2f} dollars")
print(f"Maximum value: {max(results):.2f} dollars")
print(f"Probability of bankruptcy: {bankruptcy_rate:.6%}")
设初始资金为 15 刀，每次支付 3 刀，那么出局的条件是余额小于 3 刀。为了减少计算量，我们只模拟 100 天的情况。为了减少误差，我们模拟 10000 次求均值。
最终计算得到的结果，在 100 天内出局的概率为：0.89%，也即是不到 1% 的概率。这个概率是非常小的，因此可以认为在 100 天内基本不会出局。
出局概率与初始资金的关系
100 天内出局概率与初始资金的关系如上图所示，初始资金越多，出局概率越低，这很符合直觉。 特别地，如果初始有 10 刀，那么出局概率是 5.2%，而如果初始有 20 刀，那么出局概率就骤降到 0.14%。 所以，资本的力量确实是巨大的。
余额期望
每天连续玩游戏，直到出局或者 100 天结束，那么最终的余额的期望是多少？
答案是 64.77 （65）刀。这个结果很直观，由公式 也可得到。
该不该玩这个游戏？
这个问题得视情况而定，有两个条件比较关键，一是商家短时间不跑路，二是骰子是公平的，如果这两条都满足，那么这个游戏还是可以玩一下的。
而我，已经开始玩了，毕竟白嫖的吸力太大了。
后记
连输三天后，商家关闭了游戏，目前只能签到了 😂。三天分别输了 1 刀、3 刀、1 刀，损失额度 5 刀。
再后记
网页签到彻底关停了，而且价格对比其他中转商贵太多（比如 deepbrick.ais ），我已经切换到其他中转商了。
